循环群

定义1 （循环群）

定义1：设 $G$ 为群运算记为乘法 $\cdot$，若 $\exists a\in G, \forall g\in G, \exists n\in\mathbb{Z}_{>0}, \text{使得} g = a^n$。
则称 $G$ 为循环群，将 $a$ 称为 $G$ 的一个生成元，并记 $G=\langle a\rangle$。

循环群分为两种：无限循环群和有限循环群。如 $(\mathbb Z_m, +)$ 就是 $m$ 阶循环群，$(\mathbb Z_m^*,+)$ 是 $\varphi(m)$ 阶循环群。

循环群一定是 $\text{Abel}$ 群，但反之不一定成立。

定义2 （阶）

定义2：设群 $G$，$\forall a\in G$，称 $a$ 的阶为 $|a|:=\min\{n\in\mathbb Z_{> 0}: a^n=e\}$。
特殊地，若 $|a| = +\infty$ 则称 $a$ 是无限阶元素。

不难发现，如果 $G$ 是有限循环群，那么 $\forall a\in G$，都有 $|a|\leqslant |G|$。（反证法）

要形成一个循环，就要保证最后一个元素是幺元，那么这个拓扑环上的节点个数就一定是 $|a|$ 这么多个。

命题3 （群 $\Rightarrow$ 循环群）

命题3：有限群 $G$ 为循环群 $\iff$ \exits a\in G 使得 $|a| = |G|$。

思路：

$\Rightarrow$：阶的定义。

$\Leftarrow$：$n$ 个不同元素属于 $G$，且 $|G| = n$。

命题4 （阶的倍数次幂）

命题4：设 $|a| = n$，则 $m\in \mathbb{Z}_{>0}$，有

$$a^m=e\iff n|m$$

思路： 求 $m$ 关于 $n$ 的带余数除法，$m=qn+r, (0\leqslant r < n)$，证 $r=0$。

命题5 （$a^k$ 的阶）

命题5：设 $|a| = n$，则 $\forall k\in \mathbb Z_{>0}$，有

$$|a^k| = \frac{n}{(n, k)}$$

思路： 设 $|a^k| = s$，利用命题4，分别从 $a$ 的阶整除的角度看 $e=(a^k)^s$ 和 $a^k$ 的阶整除的角度看 $(a^k)^{\frac{n}{(n,k)}}$，最后得到相互整除的结果，从而两者相等。

命题6 （阶的乘法运算）

命题6：群 $G$ 中，若 $ab=ba$（Abel群能直接满足），$|a|=n, |b|=m$，且 $(n, m) = 1$，则 $|ab| = nm$。

思路： 利用命题4，和命题5一样证明两者能够相互整除，设 $|a^k|=s$，则 $s|nm$（直接验证），分析 $e=(ab)^{sn}=b^{sn}$，利用 $(n,m)=1$，则 $m|sn\Rightarrow m|s$，同理 $n|s$，则 $nm|s$。

命题7 （最大阶为其他阶倍数）

命题7：有限 Abel 群 $G$，则 $\exists a\in G$，使得 $\forall g\in G, |a| = k|g|, (k\in \mathbb{Z}_{>0})$。
（不难发现 $|a|$ 的阶一定是最大的）

思路： 利用命题4和命题5，设 $|a|=n$ 为最大的阶，反设 $\exists b\in G, |b|=m$，且 $m\nmid n$。

关键： 则 $\exists p$ 为素数， $p^k | m$ 且 $p^k\nmid n$，取最大的非负整数 $s$ 使得 $p^s | n$，故 $p^s < p^k, s < k$。

则 $n = p^sr, m = p^kl$，且 $(r, p) = 1$。接下来构造一个阶比 $a$ 更大的数 $a^{p^s}b^l$。

由命题5知，$|a^{p^s}|=r,|b^l|=p^k$。

由于 $(r,p^k)=1$，由命题6知：$|a^{p^s}b^l| = p^kr>p^sr=n=|a|$，与 $|a|$ 的最大性矛盾。

定理8 （Abel群是循环群的等价条件）

定理8：有限 Abel 群 $G$，若 $\forall m\in\mathbb Z_{>0}$，方程 $x^m=e$ 在 $G$ 中解的个数不超过 $m$，则 $G$ 为循环群。

思路： 证明 $|G|$ 就是 $G$ 中的最大阶，设最大阶为 $n$，由命题7得 $G$ 中所有元素都是 $x^n=e$ 的解，由条件知 $|G|\leqslant n$，又由于阶为 $n$，则 $|G|\geqslant n$，得证。

思考： $x^m=e$ 解的个数超过 $m$，只有当 $m < |G|$ 的时候才可能成立，且 $m=|G|$ 时，解一定有 $m$ 个 证明见此。

定理9 （有限域中的循环群）

定理9：有限域 $F$，记 $F^*:=\{x\in F:x\neq 0\}$，则 $(F^*,\cdot)$ 称为一个循环群。

思路： 先证明是 Abel 群，再由于 $x^m-e$ 在 $m$ 中至多有 $m$ 个根（不会证，代数基本定理？），由定理8直接得出。

推论10 （存在原根的剩余类一定是循环群）

推论10：若 $m$ 是 $2, 4, p^r, 2p^r (p\text{为奇素数})$ 其中一种，那么 $(\mathbb Z_m,\cdot)$ 是循环群。

参考“原根存在定理”，原根就是一个生成元。