多元积分变量代换及应用

为了进一步计算多元积分，使用Fubini定理不完全够，加上变量代换，就可以结合各种变换，计算积分。

多元积分变量代换

命题1（体积变化率=Jacobi行列式的绝对值）

设 $\varphi:U\rightarrow V$ 为双射，$U, V\subset \mathbb R^n$ 为开集，$\varphi\in C^1, \forall x \in U, \text{det }(D\varphi(x))\neq 0$。

则体积的变化率 $\dfrac{d\varphi}{dx}(x) = |\text{det }D\varphi(x)|$。

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思路： 使用 $Taylor$ 展开前三项，分别进行估计。体积的变化来源于长度的变化，所以先研究长度的变化。

证明： $\forall x_0\in U$，只需证明 $\dfrac{d\varphi}{dx}(x_0) = |\text{det }D\varphi(x_0)|$。

对 $\varphi(x)$ 在 $x_0$ 处 $Taylor$ 展开，得

$$\begin{aligned} \varphi(x) &= \varphi(x_0) + D\varphi(x_0)(x-x_0)+R(x)\\ &= D\varphi(x_0)x+R(x)+\varphi(x_0)-D\varphi(x_0)x_0 \end{aligned}$$

故 $\varphi(x)$ 可以分解为三项：$D\varphi(x_0)x$，$R(x)$（高次项），$\varphi(x_0)-D\varphi(x_0)x_0$ （常数项）。

由于长度的变化导致体积的变化，所以先考虑长度的变化率。

1. 当 $x\rightarrow x_0$ 时，$\begin{cases}R(x_0) = 0\\\dfrac{R(x)}{|x-x_0|}\rightarrow 0\end{cases}\Rightarrow \dfrac{|R(x)-R(x_0)|}{|x-x_0|}\rightarrow 0$。

2. 常数项是平移变化，长度前后不变。

则高次项与常数项对体积的变化率都没有影响。

故，$\dfrac{d\varphi}{dx}(x_0) = \text{在线性变化“ }T(x)=D\varphi(x_0)x\text{ ”下体积的变化率}$。

令 $D\varphi(x_0) = M$，则 $\text{det }M\neq 0$。

设线性变换 $T(x) = Mx,u\in\mathbb R^n$，则

$$|T(u)| = \sqrt{<T(u), T(u)>} = \sqrt{u^TM^TMu}$$

由于 $M^TM$ 是正定对称矩阵，设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 为其特征值，$e_1,e_2,\cdots,e_n$ 为其对应的单位特征向量，则它们两两正交（$\lambda_i>0, |e_i| = 1, e_ie_j = \delta_{ij}$）。

则 $M^TMe_i = \lambda_ie_i\Rightarrow |T(e_i)| = \sqrt{e_i^T\lambda_ie_i} = \sqrt{\lambda_i}$

单位体积的变化率为 $|T(e_1)|\cdot|T(e_2)|\cdots|T(e_n)| = \sqrt{\lambda_1\cdots\lambda_n} = \sqrt{\text{det }M^TM} = |\text{det }M|$。

则在 $x_0$ 的邻域内，有 $\dfrac{d\varphi}{dx}(x) = |\text{det }D\varphi(x)|$。

由于 $x_0$ 的任意性，原命题得证。

QED

定义2（微分同胚）

设 $U, V\subset \mathbb R^n$ 为开集，$\varphi:U\rightarrow V$ 满足

1. $\varphi$ 为双射。

2. $\varphi, \varphi^{-1}\in C^k,\ (1\leqslant k\leqslant +\infty)$。

则称 $\varphi$ 为 $C^k - \text{微分同胚}$。

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进一步理解微分同胚：知乎 - 如何理解微分同胚的概念？

定理3（变量代换）

设 $U, V\subset\mathbb R^n$ 为开集，$\varphi:U\rightarrow V$ 为 $C^1 - \text{微分同胚}$，$K\subset U$ 为紧集，$m^*(\partial K) = 0$，$f\in C(\varphi(k))$，则

$$\int_{\varphi(K)}f(y)\,dy \xlongequal{y=\varphi(x)} \int_{K}f(\varphi(x))|\text{det }D\varphi(x)|\,dx$$

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对该定理有以下的观察：

• 该积分左侧有意义：

利用微分同胚性质，有 $\partial\varphi(K) = \varphi(\partial K)$。

证明： （反证法）

反设 $\exists a\in\partial K$，使 $\varphi(a)\in\varphi(K)^\circ$。

由于 $K$ 为紧集，且 $\varphi$ 在 $K$ 上连续，则 $\varphi$ 在 $K$ 上一致连续。

则 $\forall \varepsilon > 0, \exists\delta > 0$ 使 $\forall x\in \mathbb R^n$，满足 $|a-x|\leqslant\delta$，有 $|\varphi(a)-\varphi(x)|\leqslant \varepsilon$。

由于 $a\in\partial K$，则 $\exists b\in U-K$ 且 $|a-b|\leqslant \delta$，则 $|\varphi(a)-\varphi(b)|\leqslant\varepsilon$。

由于 $\varepsilon$ 的任意性，有 $\varphi(b) \in \varphi(K)$，由于 $\varphi$ 是双射，则 $b\in K$ 与 $b\in U-K$ 矛盾。

则 $\varphi(a)\not\in\varphi(K)^\circ\Rightarrow \varphi(a)\in\partial\varphi(K)\Rightarrow \varphi(\partial K)\subset\partial\varphi(K)$。

由于 $\varphi$ 微分同胚的性质，同理可证 $\forall a\in\partial\varphi(K)$，有 $\varphi^{-1}(a)\in\partial K\Rightarrow \partial\varphi(K)\subset\varphi(\partial K)$。

故，$\varphi(\partial K) = \partial\varphi(K)$。

则 $m^*(\partial\varphi(K)) = m^*(\varphi(\partial K)) = 0$（通过 $Lebesgue$ 外侧度定义证明）。

• 对于右式中出现的 $Jacobi$ 行列式，通过命题1，可以形象理解为 $dy = \dfrac{dy}{dx}\,dx = |\text{det }D\varphi(x)|\,dx$。

• 通过微分同胚还可以得出：$\text{det }D\varphi(x)\neq 0$，因为（左右同时对 $x$ 进行求导）

$$\begin{aligned} \varphi^{-1}(\varphi(x))=x\Rightarrow D\varphi^{-1}(\varphi(x))\cdot D\varphi(x) = E_n \end{aligned}$$

则 $D\varphi(x)$ 存在逆元，故 $|D\varphi(x)|\neq 0$。

具体证明老师说太复杂了，略去了~，可以参考 知乎 - 「代发」重积分换元法的证明。

应用

先是三种常用变换。

平移变换

设 $b\in\mathbb R^n$，定义 $T:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n,\ T(x) = x+b$。

则 $\text{det }DT = \text{det }E_n = 1$。

$$\begin{aligned} \int_{K}f(y)\,dy\xlongequal{y=x+b}\int_{K-b}f(x+b)\,dx\quad(K-b = \{x-b:x\in K\}) \end{aligned}$$

例题： 平移球心到原点，从而 $V(B_R(x_0)) = V(B_R)$。

伸缩变换

设 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n > 0$，定义 $T=\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n,\ T(x) = \begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}x$。

则 $\text{det }DT = \lambda_1\cdots\lambda_n$。

$$\begin{aligned} \int_{K}f(y)\,dy\xlongequal{y=Tx}\lambda_1\cdots\lambda_n\int_{\widetilde{K}}f(Tx)\,dx\quad(\widetilde{K} = \{T^{-1}x:x\in K\}) \end{aligned}$$

例题： 求椭圆体的体积，$E = \{(x, y, z):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}<1\}$，则 $V(E) = \dfrac{4}{3}\pi\cdot abc$。

正交变换

设 $Q$ 为正交阵，定义 $T:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n,\ T(x) = Qx$。

则 $|\text{det }DT| = |\text{det }Q| = \pm 1$。

$$\begin{aligned} \int_Kf(y)\,dy\xlongequal{y=Qx}\pm \int_{\widetilde{K}}f(Qx)\,dx\quad (\widetilde{K}=\{Q^{-1}x:x\in K\}) \end{aligned}$$

例题：

1. 设 $x_i$ 是向量 $x$ 的第 $i$ 分量，则

$$\begin{aligned} &\int_{B_1}x_1\,dx\xlongequal{\begin{aligned}x_1&=-y_1\\x_2&=y_2\\&\cdots\\x_n&=y_n\end{aligned}} -\int_{B_1}y_1\,dy = -\int_{B_1}x_1\,dx\\ \Rightarrow& \int_{B_1}x_1\,dx=0 \end{aligned}$$

2. $a\in\mathbb R^n$，则（$a\cdot x$ 为向量内积），

$$\int_{B_1}a\cdot x\,dx = \int_{B_1}\sum_{i=1}^n a_ix_i\,dx = \sum_{i=1}^na_i\int_{B_1}x_i\,dx = 0$$

极坐标变换

常用于积分域为圆盘的情况，计算$\displaystyle \int_{B_R}f(x, y)\,dxdy$。

构造变换：$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$

定义微分同胚：$\varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$，令开集 $U=\{(r,\theta):0<r,0<\theta<2\pi\}$，
则有对应的开集 $\varphi(U)=V=\mathbb R^2-\{(x,0):x\geqslant 0\}$。

设 $K\subset U$ 为紧集，$m^*(\partial K) = 0, f\in C(\varphi(K))$，由定理3变量代换，知

$$\int_{\varphi(K)}f(x, y)\,dxdy=\int_{K}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,drd\theta$$

注意不要漏掉系数 $|D\varphi| = r$ 了。

命题4（闭球上的极坐标变换）

设 $f\in C(\bar{B}_R)$，其中 $B_R=\{(x, y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2 < R^2\}$，则

$$\int_{\bar{B}_R}f(x, y)\,dxdy = \int_0^R\int_0^{2\pi}f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,d\theta dr$$

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这个命题看似和上面的讨论类似，但有细微的区别，因为闭球 $\bar{B}_R$ （闭集）不属于 $V$ （开集）中，所以要进行证明。

思路： 利用 $\varepsilon$ 将 $Q=[0,R]\times[0,2\pi]$ 放缩为 $Q_{\varepsilon}$，从而满足 $V$ 的范围，从而可以使用变量代换，再对 $Q_{\varepsilon}$ 和 $Q$ 的积分值分别进行估计。

证明： （证明中是使用的 $\varphi, U,V$ 都是上文讨论中所定义的）

令 $Q = [0,R]\times[0,2\pi]$，对 $\forall \varepsilon > 0$，设 $Q_{\varepsilon} = [\varepsilon, R]\times[\varepsilon, 2\pi - \varepsilon]$，则 $Q_{\varepsilon}\subset V$，由变量代换知，

$$\int_{\varphi(Q_{\varepsilon})}f(x, y)\,dxdy = \int_{Q_{\varepsilon}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,drd\theta$$

下面进行对左右式子分别进行估计：

设 $g=f(r\cos\theta, r\sin\theta)r,\ (r\in[0,R], \theta\in[0,2\pi])$。

由于 $f\in C(\varphi(K)), \varphi(K)\text{为紧集}$，则 $f$ 有界，令 $|f|\leqslant M$，则 $|g|\leqslant MR$。

左式估计：

$$\begin{aligned} \left|\int_{\varphi(Q)}f - \int_{\varphi(Q_{\varepsilon})}f\right|\leqslant \left|\int_{\bar{B}_R-\varphi(Q_{\varepsilon})}f\right|\leqslant\int_{\bar{B}_R-\varphi(Q_{\varepsilon})}|f|\leqslant M(\pi\varepsilon^2+R^2\varepsilon)=C\varepsilon \end{aligned}$$

右式估计：

$$\begin{aligned} \left|\int_Qg-\int_{Q_{\varepsilon}}g\right|\leqslant \int_{Q-Q_{\varepsilon}}|g|\leqslant MR(2\pi\varepsilon+2R\varepsilon) = C\varepsilon \end{aligned}$$

上面两个估计中最后一个不等号都是通过作图分析出来的。

综上，

$$\int_{Q}g = \int_{Q_{\varepsilon}}g=\int_{\varphi(Q_{\varepsilon}}f=\int_{\bar{B}_R}f$$

QED

球坐标变换

该变换指的是：

$$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi \end{cases} \quad(\ r\geqslant 0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi)\ )$$

设变换 $\psi(r, \theta, \varphi) = (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)$，则 $|D\varphi| = r^2\sin\varphi$。

命题5（三维闭球上的球坐标变换）

设 $f\in C(\bar{B}_R)$，其中 $B_R=\{(x, y, z):x^2+y^2+z^2<R\}$，则

$$\int_{\bar{B}_R}f(x, y, z)\,dxdydz = \int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^\pi f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi\,d\varphi d\theta dr$$

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该命题证明和命题4证明类似。

柱坐标变换

该坐标变换指的是：

$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z \end{cases} \quad (\ r\geqslant 0, \theta\in[0,2\pi)\ )$$

设变换 $\varphi(r, \theta, z) = \varphi(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$，则 $|D\varphi| = r$。

利用该变换可以很容易求，圆柱，圆锥，圆台等柱体。

思考

极坐标变换，球坐标变换，柱坐标变换这三种变换，可以有这样的理解方法（个人理解）。

极坐标变换：

$$\begin{aligned} \iint\limits_{x^2+y^2 < R^2}f(x, y)\,dxdy =& \int_0^R\int_0^{2\pi}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,d\theta dr\\ =&\int_0^R\left\{\int_{\partial B_r}f\,ds\right\}\,dr \end{aligned}$$

最后的等号就是曲线积分，详见 第一型曲线积分。

如果把积分符号 $\int$，视为求和符号 $\sum$，那么右侧积分含义就可以理解为，先确定一个半径 $r\in[0,R]$，然后 $\int_0^{2\pi}$ 求出一个半径为 $r$ 的圆的周长，对每个 $r$ 都求一次，累加起来 $\int_0^R$，就成整个圆的面积了，形象理解如下图：

球坐标变换：（这里的 $B_R=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2 < R\}$）

$$\begin{aligned} \int_{B_R}f(x, y, z)\,dxdydz=&\int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta\,dr\\ =&\int_0^R\left\{\int_{\partial B_r}f\,d\sigma\right\}\,dr \end{aligned}$$

同样的：$\int_0^{\pi}\,d\varphi$ 求出一个圆弧长度，$\int_0^{2\pi}\,d\theta$ 将该圆弧绕 $z$ 轴旋转一圈，求出半径为 $r$ 的球壳面积，$\int_0^R$ 将不同半径的球壳面积累加起来就是整个球的体积了。最后一个等号就是第一型曲面积分，详见 第一型曲面积分 - 球面上的积分 推论2。

柱坐标变换：大致原理类似，先求出竖直线段长度，将该线段绕 $z$ 轴旋转成曲面，曲面累加成圆柱体。

所以，这里的坐标变换也算是为后面将要学的曲线积分和曲面积分开头了~