一些特殊的群

记录一些《近世代数》（丘维声）书上出现过的一些特殊群的定义。

  1. Zm:={1ˉ,2ˉ,⋯ ,nˉ}\mathbb Z_m:=\{\bar{1},\bar{2},\cdots,\bar{n}\}：模 mm 的剩余类加群。
    Zm∗\mathbb Z_m^* 为 Zm\mathbb Z_m 的所有可逆元组成的集合（简化剩余类），Zm∗\mathbb Z_m^* 关于乘法构成一个群。

  2. Dn:={σ,τ:σn=τ2=I,τστ=σ−2}D_n:=\{\sigma,\tau:\sigma^n=\tau^2=\text{I}, \tau\sigma\tau=\sigma^{-2}\}：二面体群，∣Dn∣=2n|D_n| = 2n。

  3. SnS_n：nn 元对称群，∣Sn∣=n!|S_n| = n!。

  4. AnA_n：nn 元交错群，∣An∣=∣Sn∣2=n!2|A_n| = \dfrac{|S_n|}{2} = \dfrac{n!}{2}。

  5. GLn(F):={A∈Fn:∣A∣≠0}GL_n(F):=\{A\in F^n:|A|\neq 0\}：域 FF 上的 nn 级一般线性群，FnF^n 上所有可逆矩阵。

  6. SLn(F):={A∈Fn:∣A∣=1}SL_n(F):=\{A\in F^n:|A| = 1\}：域 FF 上的 nn 级特殊线性群， FnF^n 上所有行列式为 11 的矩阵。

  7. On:={A∈Rn:∣A∣=±1}O_n:=\{A\in \mathbb R^n:|A| = \pm1\}：Rn\mathbb R^n 上的所有正交矩阵。

  8. SOn:={A∈Rn:∣A∣=1}SO_n:=\{A\in \mathbb R^n:|A| = 1\}：Rn\mathbb R^n 上的所有行列式为 11 的矩阵。

  9. Un:={A∈Cn:A∗A=AˉTA=En}U_n:=\{A\in \mathbb C^n:A^*A = \bar{A}^TA = E_n\}：nn 阶酉群（其中 A∗=AˉTA^* = \bar{A}^T 为 AA 的共轭转置）

  10. SUn:={A∈Un:∣A∣=1}SU_n:=\{A\in U_n:|A| = 1\}：nn 阶特殊酉群。