群论下的欧拉定理

命题

设 $G$ 是有限 $\text{Abel}$ 群，记它的阶 $|G| = n$，幺元为 $e$，则对于任意的 $a\in G$ 都有 $a^{n} = e$。

证明：

设 $G = \{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，对于 $\forall g\in G$，令 $a_i'=g\cdot a_i$，则当 $i\neq j$ 时，$a_i'\neq a_j'$。

反设 $a_i' = a_j'$，则 $g\cdot a_i = g\cdot a_j\Rightarrow g^{-1}g\cdot a_i = g^{-1}g\cdot a_j\Rightarrow a_i=a_j$，与 $i\neq j$ 矛盾。

故 $a_i' \neq a_j'$。

于是有：$G = \{a_1', a_2', \cdots, a_n'\}$。

则（第二个等号使用了交换律）：

$$a_1a_2\cdots a_n = a_1'a_2'\cdots a_n' = g^n a_1a_2\cdots a_n$$

对上式右乘 $a_1a_2\cdots a_n$ 的逆元，则 $g^n = e$。

QED

推论

由于 $\mathbb Z_m^*$（模 $m$ 的简化剩余类）关于乘法构成一个 $\text{Abel}$ 群 $(\mathbb{Z}_m^*, \cdot)$，且 $(\mathbb{Z}_m^*, \cdot)$ 的阶数为 $\varphi(m)$，于是由上述命题得出，

欧拉定理：$\forall \overline{a}\in G$

$$(\overline{a})^{\varphi(m)} = 1$$

等价于：

$$a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod m$$