定义1 （循环群） 定义1：设 GGG 为群运算记为乘法 ⋅\cdot⋅，若 ∃a∈G,∀g∈G,∃n∈Z>0,使得g=an\exists a\in G, \forall g\in G, \exists n\in\mathbb{Z}_{>0}, \text{使得} g = a^n∃a∈G,∀g∈G,∃n∈Z>0​,使得g=an。 则称 GGG 为循环群，将 aaa 称为 GG

由于这一节内容前后关联性比较强，为了更清楚的表示定义，命题，定理之间的上下关系，就使用了思维导图，先安利下我用的思维导图网站 ZhiMap，它的好处主要在于可以打数学公式，而且免费，速度很快，手机也可以编辑，它的历史记录功能有点意思，基本可以做到实时保存，感觉应该和 gitgitgit 的原理类似，撤销操作很稳定。 定理的证明思路也一同写在脑图上面了。 推荐直接打开网页版

记录一些《近世代数》（丘维声）书上出现过的一些特殊群的定义。 Zm:={1ˉ,2ˉ,⋯ ,nˉ}\mathbb Z_m:=\{\bar{1},\bar{2},\cdots,\bar{n}\}Zm​:={1ˉ,2ˉ,⋯,nˉ}：模 mmm 的剩余类加群。 Zm∗\mathbb Z_m^*Zm∗​ 为 Zm\mathbb Z_mZm​ 的所有可逆元组成的集合（简化剩余类），Zm∗\mathbb Z

定义1（子群） 设 GGG 为群，H⊂GH\subset GH⊂G，如果 HHH 关于 GGG 的运算也成为一个群，则称 HHH 为 GGG 的一个子群，记 H<GH < GH<G。 命题2（子群判定方法） 设 GGG 为群，H⊂GH\subset GH⊂G，则 H<G  ⟺  ∀a,b∈H, ab−1∈H\begin{aligned} H < G\iff \fo

群在集合上的作用，轨道-稳定子定理 需要掌握的： 求群 GGG 的中心， 自同构群，共轭类。 求中心 根据中心的定义求解： Z(G)= {x∈G:∀y∈G,xy=yx}（与所有元素都可交换）= {x∈G:∀y∈G,xyx−1=y}  ⟺  在共轭作用下G的不动点集G0。\begin{aligned} Z(G) =&\ \{x\in G: \forall y\in G, xy = y

基础知识 定义1（函数范数） 设标量函数 u:Rn⊃Ω→Ru: \mathbb{R}^n\supset \Omega\to \mathbb{R}u:Rn⊃Ω→R，C(Ω)C(\Omega)C(Ω) 表示在 Ω\OmegaΩ 上的连续标量函数构成的线性空间，对于 u∈C(Ω)u\in C(\Omega)u∈C(Ω)，定义 ∣∣u∣∣C(Ω=sup⁡x∈Ω∣u(x)∣,（值域的上确界）||u||_

数学分析第一周，讲了多元函数关于 RiemannRiemannRiemann 积分的定义和 DarbouxDarbouxDarboux 积分的等价证明，定义了 LebesgueLebesgueLebesgue 外侧度及其一些性质。 多元函数的 RiemannRiemannRiemann 积分的定义，总体思路和一元函数的定义类似，通过定义多元空间中的一个分划，然后定义出 RiemannRiemann

第十一周考了期中，感觉裂开（我tcl；任何周期为 2π2\pi2π 的函数都可以表示为傅里叶级数（一种三角级数），然后就可以将难以积分、求导的函数变化为易于积分的三角级数。 定义1（三角级数） 设 ak∈R, k=0,1,⋯ , bk∈R, k=1,2,⋯a_k\in \mathbb R,\ k=0,1,\cdots,\ b_k\in\mathbb R,\ k=1,2,\cdotsak​∈R,

命题1（分段常数逼近） 设 f∈L1([a,b])f\in L^1([a,b])f∈L1([a,b])，则 ∀ε>0, ∃g:[a,b]→R\forall \varepsilon > 0,\ \exists g : [a, b]\rightarrow \mathbb R∀ε>0, ∃g:[a,b]→R，ggg 为分段常数，使 ∫ab∣f−g∣<ε\int_a^b|f-g|

定义1（Lipschitz 条件） 设 f:(a,b)→Rf:(a, b)\rightarrow \mathbb Rf:(a,b)→R，x0∈(a,b)x_0\in (a, b)x0​∈(a,b)，若 f(x0+), f(x0−)f(x_0^+),\ f(x_0^-)f(x0+​), f(x0−​) 存在。 ∃ 0<δ<min⁡{b−x0,x0−a}\exists\ 0 &l